18 浅析多项式回归与pipeline

之前我们介绍了简单线性回归，其输入特征只有一维，即：[公式]；推广到多维特征，即多元线性回归：[公式]。

但是在线性回归的背后是有一个很强的假设条件：数据存在线性关系。但是更多的数据之间具有非线性关系。因此对线性回归法进行改进，使用多项式回归法，可以对非线性数据进行处理。

研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归（Polynomial Regression）。多项式回归是线性回归模型的一种，其回归函数关于回归系数是线性的。其中自变量x和因变量y之间的关系被建模为n次多项式。

如果自变量只有一个时，称为一元多项式回归；如果自变量有多个时，称为多元多项式回归。在一元回归分析中，如果依变量y与自变量x的关系为非线性的，但是又找不到适当的函数曲线来拟合，则可以采用一元多项式回归。

由于任一函数都可以用多项式逼近，因此多项式回归有着广泛应用。

下面举个例子：

对于下面这种非线性关系的数据，使用直线拟合会显得很牵强。

画一个曲线，拟合度更好。

如果只有一个特征，则可以写出表达式：[公式]。

首先来准备一下数据，创建一个一元二次方程，并增加一些噪音：

如果直接使用线性回归去拟合数据，则可以得到：

很显然，拟合效果并不好。那么解决呢？

多项式回归的思路是：添加一个特征，即对于X中的每个数据进行平方。

其第一个系数是[公式]前的系数，第二个系数是[公式]前面的。输出其截距。

对于上一小节生成的虚拟数据，使用sklearn中的多项式回归。多项式回归可以看作是对数据进行预处理，给数据添加新的特征，所以调用的库在preprocessing中：

X2的结果第一列常数项，可以看作是加入了一列x的0次方；第二列一次项系数（原来的样本X特征），第三列二次项系数（X平方前的特征）。

特征准备好之后进行训练：

得到的系数和截距与上一小节中的结果是相同的：

之前使用的都是1维数据，如果使用2维3维甚至更高维呢？

可以看出当数据维度是2维是，经过多项式预处理生成了6维数据。

第一列很显然是0次项系数；第二列和第三列就是原本的X矩阵；第四列是第二列（原X的第一列）平方的结果；第五列是第二、三两列相乘的结果；第六列是第三列（原X的第二列）平方的结果。

由此可以猜想一下如果数据是3维的时候是什么情况：

过PolynomiaFeatures，将所有的可能组合，升维的方式呈指数型增长。这也会带来一定的问题。

在具体编程实践时，可以使用sklearn中的pipeline对操作进行整合。

Pipeline就是将这些步骤都放在一起。参数传入一个列表，列表中的每个元素是管道中的一个步骤。每个元素是一个元组，元组的第一个元素是名字（字符串），第二个元素是实例化。

其实多项式回归在算法并没有什么新的地方，完全是使用线性回归的思路，关键在于为数据添加新的特征，而这些新的特征是原有的特征的多项式组合，采用这样的方式就能解决非线性问题。

这样的思路跟PCA这种降维思想刚好相反，而多项式回归则是升维，添加了新的特征之后，使得更好地拟合高维数据。

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