0<a0<1,an+1=1-(1-an)½,证明an收敛求极限

提问网友发布时间：2024-10-24 17:29

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热心网友回答时间：12小时前

我们可以按照以下步骤来证明数列an收敛并求其极限：
第一步，已知0<a0<1，由题意得到数列的递推公式an+1=1−(1−an)1/2。
第二步，根据不等式性质，有1−(1−an)1/2<1−(1−an)=an，即an+1<an。
第三步，由第二步结论和递减数列的定义，我们知道数列an是递减的。
第四步，由于已知0<a0<1，那么对于任意的n∈N∗，都有0<an<1。
第五步，根据单调收敛定理，我们知道在有界单调数列中，数列必定收敛。由于数列an是有界（0<an<1）且单调递减的，所以它必定收敛。
第六步，我们设数列an的极限为a，根据极限的定义，我们有limn→∞an=a。那么对于任意的ε>0，都存在一个N∈N∗，使得当n>N时，有∣an−a∣<ε。特别地，当n>N时，有∣an−a∣<1。
第七步，由第六步结论，我们可以得到−1<an−a<1，即a−1<an<a+1。然而，由于我们已经知道an+1<an（如第二步结论），我们可以得到an+1<a。
第八步，由于在第七步中我们已经得到了an+1<a，并且已知数列an是收敛的（如第五步结论），那么根据极限的定义，我们可以得到a≤an+1<a，即a=an+1。
综上，我们证明了数列an是收敛的，并且其极限为a=an+1。

热心网友回答时间：12小时前

0<a0<1,a<n+1>=1-√(1-an)，①
所以0<√(1-a0)<1,
a<n+1>-an=1-an-√(1-an)=√(1-an)[√(1-an)-1],
特别地，a1-a0=√(1-a0)[√(1-a0)-1]<0，
由①，a1=1-√(1-a0)>0,
所以0<a1<a0<1,
依此类推，0<<an<a<n-1><……<a0<1,②
所以{an}是递减有下界的数列，
所以n→∞时an有极限，设为x,由①，
x=1-√(1-x),
√(1-x)[√(1-x)-1]=0,
由②，√(1-x)>0,
所以√(1-x)-1=0,解得x=0.为所求。

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