乘法的发展

在各种文明的算术发展过程中，乘法运算的产生是很重要的一步。一个文明可以比较顺利地发展出计数方法和加减法运算，但要想创造一套简单可行的乘法运算方法却不那么容易。我们目前使用的乘法竖式计算看似简便，实际上这需要我们事先掌握九九乘法口诀表；考虑到这一点，这种竖式计算并不是完美的。我们即将看到，在数学的发展过程中，不同的文明创造出了哪些不同的乘法运算方法，其中有的运算法甚至可以完全抛弃乘法表。
古巴比伦数学使用60进制，考古发现的一块古巴比伦泥板证实了这一点。这块泥板上有一个正方形，对角线上有四个数字1, 24, 51, 10。最初发现这块泥板时人们并不知道这是什么意思，后来某牛人惊讶地发现，如果把这些数字当作60进制的三位小数的话，得到的正好是单位正方形对角线长度的近似值：1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.41421296296... 这说明古巴比伦已经掌握了勾股定理。60进制的使用为古巴比伦数学的乘法运算发展带来了很大的障碍，因为如果你要背59-59乘法口诀表的话，至少也得背1000多项，等你把它背完了后我期末论文估计都已经全写完了。另一项考古发现告诉了我们古巴比伦数学的乘法运算如何避免使用乘法表。考古学家们发现一些泥板上刻有60以内的平方表，利用公式ab = [(a+b)^2 - a^2 - b^2]/2 可以迅速查表得到ab的值。另一个公式则是ab = [(a+b)^2 - (a-b)^2]/4，这说明两个数相乘只需取它们的和平方与差平方的差，再两次取半即可。平方数的频繁使用很可能加速了古巴比伦人发现勾股定理的过程。　　古巴比伦数学把除以一个数看作是乘以它的倒数，利用倒数表可以很方便的实现这种算法。倒数表开头的一部分是这个样子：
2 0; 30
3 0; 20
4 0; 15
5 0; 12
6 0; 10
8 0; 7, 30
9 0; 6, 40
10 0; 6
12 0; 5
15 0; 4
16 0; 3, 45
18 0; 3, 20
20 0; 3
... ....
古巴比伦人很早就发现，1/7是一个无限小数，怎么除也除不完。古巴比伦的倒数表里所有的数都是精确的小数，它们（在60进制中）都是有限小数。碰到无限小数时，他们会用取近似值的方法来解决。例如，古巴比伦人会通过1/13 = 1*(1/13) = 7*(1/91) ≈ 7*(1/90) = 7*(40/3600) = (7*40)/3600 来计算1/13的值。那个40就是查倒数表查出来的。　　古埃及数学使用了完全不同的乘法运算法。它们的乘法运算不需要借助任何辅助用表。古埃及人注意到，任何一个数都可以表示为若干个不同的2的幂的和。因此，你需要做的仅仅是不断将1和乘数进行翻倍。看看古埃及人如何计算46乘以22：
46 x 22 = 1012
1 22
2 44 44
4 88 + 88
8 176 + 176
16 352
32 704 + 704
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1012　　上面的演算中，左列是1不断翻倍的结果，右边是22不断翻倍的结果。选出左列的2, 4, 8, 32，它们的和正好就是被乘数46；那么把右列对应的数加起来就是乘法运算的最终结果。至于如何选出2, 4, 8, 32这四个数，一个简单的方法就是，不断选出左列里小于被乘数的数中最大的一个，然后当前被乘数减去它。比如，32是最大的数，用46-32后剩14；8是小于14的最大数，14-8后剩6；然后最大的小于6的数是4，6减去4后剩2，这样下来2+4+8+32正好就是被乘数46了。这其实就是二进制的经典应用，2, 4, 8, 32正好与46的二进制中的数字1一一对应。你可以在这里看到一些相关的东西。

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