如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

提问网友发布时间：2024-10-24 13:18

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热心网友回答时间：2024-11-04 14:03

没有楼上解得那么麻烦，而且如果知道n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2...+n^2，也不用证了，呵呵。

思路：只要能证明n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除，n(n+1)(2n+1)就能被6整除。
证：
n,n+1必为一奇一偶，n(n+1)(2n+1)能被2整除。
是否能被3整除，需要分类讨论。
n为3的倍数时，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n不是3的倍数时，n=3k+1或n=3k+2(k为自然数，包括0）。
n=3k+2时，n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
n=3k+1时，2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)，是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。
综上，n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除，因此能被6整除。

热心网友回答时间：2024-11-04 14:03

反证法(其实要不要反证都一样)：
假设n(n+1)(2n+1)不能被6整除，则
1/6*n(n+1)(2n+1)为分数。
而1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2

这是个数列求和公式，要证明也可以，用的是构造一个等式模型的方法：
因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,..分别代入上式可得
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式全部叠加得
（n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
又因为1+2+3+....+n=n(n+1)/2
所以代入，得到了1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2

则n为自然数时，1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2是个整数，矛盾，原假设不成立。

所以当n是自然数时，n(n+1)(2n+1)能被6整除

热心网友回答时间：2024-11-04 14:04

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[2(n+2)-3]
n和（n+1）中必有一个数是偶数能被2整除，
n,（n+1）和（n+2）必有一个数能被3整除，
则n，(n+1)，[2(n+2)-3]必有一个数能被3整除
又因为2与3互质，所以n(n+1)[2(n+2)-3]能被6整除。

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