解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴PQ=1，PR=3，
∴1PQ+1PR=1+13=43．
（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，
∴∠OAP=30°．
∴AP=3．
∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
在Rt△AQP中，PQ=32，同理，PR=32，
∴1PQ+1PR＝23+23＝43．
（3）猜想1PQ+1PR＝43．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴ACPQ＝AEAP①
同理可得：ACPR＝AEPC②
①+②，得：
ACPQ+ACPR=AEAP+AEPC
∴1PQ+1PR=AEAC（1AP+1PC）
=
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回答时间：2024-11-09 18:54
