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请大家帮助我一道无穷级数的题目

提问网友发布时间：2024-10-24 15:15

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共1个回答

热心网友回答时间：2024-10-28 09:28

A 不一定收敛
理由;只要举出反例即可。
令U(n)=(-1)^n/ln(n+1)（+1是为了保证n=1时有意义），则U(n)是趋于零的交错数列，所以由Leibnitz判别法知∑U(n)收敛。
(-1)^n*U(n)/n=1/(n*ln(n+1))，它与1/((n+1)*ln(n+1))同敛散（商的极限为1）。对级数∑1/((n+1)*ln(n+1))用积分判别法：
∫[1,∞] 1/((x+1)*ln(x+1)) dx
=∫[2,∞] 1/(x*ln(x)) dx
=ln(ln(x))|[2,∞]
=∞，
所以∑(-1)^n*U(n)/n=∑1/(n*ln(n+1))发散。证毕

B.不一定收敛
理由：考察U(n)=(-1)^n/n^(-1/2)

C.不一定收敛
理由: 考察U(n)=(-1)^n/n^(-1/6)

D.一定收敛
理由：不用多说吧，设原级数和为S，首项为U（1）
则新级数和为2S-U（1）

答案是D

热心网友回答时间：2024-10-28 09:28

A 不一定收敛
理由;只要举出反例即可。
令U(n)=(-1)^n/ln(n+1)（+1是为了保证n=1时有意义），则U(n)是趋于零的交错数列，所以由Leibnitz判别法知∑U(n)收敛。
(-1)^n*U(n)/n=1/(n*ln(n+1))，它与1/((n+1)*ln(n+1))同敛散（商的极限为1）。对级数∑1/((n+1)*ln(n+1))用积分判别法：
∫[1,∞] 1/((x+1)*ln(x+1)) dx
=∫[2,∞] 1/(x*ln(x)) dx
=ln(ln(x))|[2,∞]
=∞，
所以∑(-1)^n*U(n)/n=∑1/(n*ln(n+1))发散。证毕

B.不一定收敛
理由：考察U(n)=(-1)^n/n^(-1/2)

C.不一定收敛
理由: 考察U(n)=(-1)^n/n^(-1/6)

D.一定收敛
理由：不用多说吧，设原级数和为S，首项为U（1）
则新级数和为2S-U（1）

答案是D

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