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【用大学数学方法】求证:(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

提问网友发布时间：2024-10-24 11:52

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共3个回答

热心网友回答时间：2024-11-10 14:13

楼上的说法是错误的！缺少的条件不是b/a＞0，也不是a＞b，而是a＞b＞0（就是差那么一点点啊）。
证明：令a/b＝t，则t＞1
根据拉格朗日中值定理，有：
㏑t-㏑1＝（t-1）/ξ，ξ∈（1,t）
∴㏑t＝（t-1）/ξ
又∵（t-1）/t＜（t-1）/ξ＜（t-1）/1
∴（t-1）/t＜㏑t＜（t-1）/1
即(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

热心网友回答时间：2024-11-10 14:15

不对吧？我觉得1L补充的是对的啊。
b>a或者a<0,b<0的情况也是满足这个不等式的。。。
Ls不信的话，自己算好了，你那段证明在0<t<1的情况下也是成立的。。。
总之就是用中值定理就可以解决了。。。

热心网友回答时间：2024-11-10 14:12

首先，条件应该是a>b，
然后利用拉格朗日中值定理：f(a)-f(b)=(a-b)*f'(c)
构造函数f(x)=lnx
所以，ln(a)-ln(b)=(a-b)/c
而c属于(b,a)
所以不等式：(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b成立

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