阶乘与累乘，作为数学领域中的两个概念，各自拥有独特的定义与用途。
**阶乘**定义为从1乘至指定数的所有正整数之乘积，记号为n!。例如，5!表示为5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。数学中，0!定义为1。阶乘在数论、组合数学及概率论等分支中有广泛应用。
**累乘**则指的是任意数的连续乘积过程，可能从任何正整数开始，不限定序列。如2 × 3 × 4 × 5是一个累乘实例。累乘通常以乘号连续表示，或用圆括号表示多个数的乘积。
**区别**显著在于定义、表示方法与数学属性。阶乘特指从1递增至n的乘积，而累乘则可以是任意数序列的乘积。阶乘使用感叹号表示，而累乘则通过乘号或圆括号表示。阶乘在数学中有严格的定义与性质，如递归性质及与排列数的关系；累乘则更为通用，不涉及特定的数学属性。
阶乘在数学问题中常与整数分解、素数分布、二项式系数等概念相关联，而累乘则广泛应用于代数表达式、函数定义及物理公式等。
总体而言，阶乘是累乘的特定实例，序列起始点为1；累乘则是包含阶乘在内的更广泛乘积概念。在数学表达与计算中，两者各有其独特应用与意义。
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回答时间：2024-10-29 03:50
