（1）函数的定义域是（0，+∞）
f′(x)＝lnx+x×1x?a＝lnx+1?a
当a=-1时，f′（x）=lnx+2
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞1e2
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜1e2
∴函数的单调递增区间是(1e2，+∞)
函数的单调递减区间是(0，1e2)
（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
∴对一切x∈（0，+∞），xlnx-ax≥-x2-2恒成立．
即对一切x∈（0，+∞），a≤lnx+x+2x恒成立．
令F(x)＝lnx+x+2x
∵F′(x)＝1x+1?2x2＝(x+2)(x?1)x2
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增．
∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3
∴a≤3
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞1ex?2ex成立．
等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx+x＞xex?2e成立．
由（1）知，当a=-1时f（x）=xlnx+x，f(x)min＝f(1e2)＝?1e2
令G(x)＝xex?2e，G′(x)＝ex?xexe2x＝1?xex
当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）min＞G（x）max
∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值．
∴G(x)max＝G(1)＝?1e
∵-1e＜?1e2
∴f（x）min＞G（x）max
∴对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞1ex?2ex成立．
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回答时间：2024-10-08 04:10
